POLINOM NEWTON

- Dini Nasikhah Alisiana

Polinom Newton: Definisi dan Dasar Teoritis

Polinom Newton adalah metode interpolasi polinomial yang memanfaatkan perbedaan terbagi untuk menemukan polinom interpolasi yang melewati titik-titik data yang diketahui. Metode ini menawarkan keuntungan dalam hal stabilitas dan kemudahan penambahan titik data baru tanpa mengulang seluruh perhitungan dari awal.

Polinom Interpolasi

Interpolasi adalah metode untuk memperkirakan nilai fungsi di antara dua titik data yang diketahui. Polinom interpolasi Newton merupakan salah satu dari berbagai jenis polinom interpolasi, seperti polinom Lagrange dan polinom Hermite.

Jenis-jenis Polinom Newton

Ada dua bentuk utama dari polinom Newton:

1. Polinom Newton Maju (Forward Newton Polynomial)
2. Polinom Newton Mundur (Backward Newton Polynomial)

Polinom Newton Maju

Bentuk polinom Newton maju digunakan ketika titik-titik data terdistribusi secara seragam dan dihitung menggunakan perbedaan maju (forward differences).

Bentuk umum polinom Newton maju adalah: ${𝑃}_{𝑛}(𝑥)={𝑦}_0+\mathrm{\Delta }{𝑦}_0(𝑥-{𝑥}_0)+\frac{{\mathrm{\Delta }}^2{𝑦}_0(𝑥-{𝑥}_0)(𝑥-{𝑥}_1)}{2!}+\cdots +\frac{{\mathrm{\Delta }}^{𝑛}{𝑦}_0(𝑥-{𝑥}_0)(𝑥-{𝑥}_1)\cdots (𝑥-{𝑥}_{𝑛-1})}{𝑛!}$

Di mana $\mathrm{\Delta }{𝑦}_{𝑖}$ adalah perbedaan maju.

Polinom Newton Mundur

Bentuk polinom Newton mundur digunakan ketika titik-titik data terdistribusi secara seragam dan dihitung menggunakan perbedaan mundur (backward differences).

Bentuk umum polinom Newton mundur adalah: ${𝑃}_{𝑛}(𝑥)={𝑦}_{𝑛}+\mathrm{\nabla }{𝑦}_{𝑛}(𝑥-{𝑥}_{𝑛})+\frac{{\mathrm{\nabla }}^2{𝑦}_{𝑛}(𝑥-{𝑥}_{𝑛})(𝑥-{𝑥}_{𝑛-1})}{2!}+\cdots +\frac{{\mathrm{\nabla }}^{𝑛}{𝑦}_{𝑛}(𝑥-{𝑥}_{𝑛})(𝑥-{𝑥}_{𝑛-1})\cdots (𝑥-{𝑥}_1)}{𝑛!}$

Di mana $\mathrm{\nabla }{𝑦}_{𝑖}$ adalah perbedaan mundur.

Metode Interpolasi dengan Polinom Newton

Interpolasi dengan polinom Newton dapat dilakukan melalui beberapa langkah, termasuk membentuk tabel perbedaan terbagi, menghitung koefisien, dan menyusun polinom interpolasi.

Langkah-langkah Perhitungan

1. Membentuk Tabel Perbedaan Terbagi
2. Menghitung Koefisien Polinom Newton
3. Menyusun Polinom Newton

Contoh Kasus: Polinom Newton Maju

Misalkan kita memiliki tiga titik data:

$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle {𝑥}_0}& {\displaystyle =1,}& {\displaystyle 𝑓({𝑥}_0)}& {\displaystyle =1}\\ {\displaystyle {𝑥}_1}& {\displaystyle =2,}& {\displaystyle 𝑓({𝑥}_1)}& {\displaystyle =4}\\ {\displaystyle {𝑥}_2}& {\displaystyle =3,}& {\displaystyle 𝑓({𝑥}_2)}& {\displaystyle =9}\end{array}$$

Langkah 1: Membentuk Tabel Perbedaan Terbagi

$$\begin{array}{cccc}𝑥& 𝑓(𝑥)& 𝑓[{𝑥}_{𝑖},{𝑥}_{𝑖+1}]& 𝑓[{𝑥}_{𝑖},{𝑥}_{𝑖+1},{𝑥}_{𝑖+2}]\\ 1& 1& 3& 1\\ 2& 4& 5& \\ 3& 9& & \end{array}$$

Langkah 2: Menghitung Koefisien

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {𝑎}_0}& {\displaystyle =𝑓[1]=1}\\ {\displaystyle {𝑎}_1}& {\displaystyle =𝑓[1,2]=3}\\ {\displaystyle {𝑎}_2}& {\displaystyle =𝑓[1,2,3]=1}\end{array}$$

Langkah 3: Menyusun Polinom

$$𝑃(𝑥)=1+3(𝑥-1)+1(𝑥-1)(𝑥-2)$$

Dengan menyederhanakan, kita dapatkan:

$$𝑃(𝑥)=1+3(𝑥-1)+1(𝑥-1)(𝑥-2)=1+3𝑥-3+({𝑥}^2-3𝑥+2)={𝑥}^2$$

Aplikasi Polinom Newton

Polinom Newton digunakan dalam berbagai bidang seperti:

• Analisis Numerik: Untuk aproksimasi fungsi-fungsi yang kompleks.
• Pemodelan Data: Dalam pemodelan data sains, teknik, dan ekonomi.
• Grafik Komputer: Untuk interpolasi titik-titik dalam pemodelan objek 3D.

Keunggulan Polinom Newton

• Kemudahan Penghitungan: Memungkinkan penambahan titik data baru tanpa mengulang seluruh perhitungan dari awal.
• Stabilitas: Mengurangi kesalahan komputasi pada interpolasi data dengan jumlah titik yang banyak.
• Fleksibilitas: Dapat digunakan untuk data dengan distribusi yang tidak merata.